Números racionais e as dízimas periódicas
Toda dízima periódica é um número racional, pois pode ser transformada em uma fração. Essa fração é chamada de fração geratriz, pois ela gera, dá origem à dízima periódica.
Observe a dízima 0,123321456789... Como ela não é periódica (não há parte que se repete), não é possível transformá-la em uma fração. Esse tipo de número, que você estudará no livro do 9o ano, não pertence ao conjunto dos números racionais.
Algumas dízimas periódicas são simples, pois o período (parte que se repete) aparece logo depois da vírgula. Por exemplo, 0,333...; 3,262626... e 0,248248248... são dízimas periódicas simples.
Existem também as dízimas periódicas compostas, em que, após a vírgula, há uma parte não periódica e, depois, a parte periódica. Por exemplo, 0,36222...; 1,5919191... e 0,3425.
Para transformar uma dízima periódica em uma fração, ou seja, para determinar a fração geratriz de uma dízima periódica, podemos usar equações.
Veja como isso é possível acompanhando, inicialmente, os exemplos para as dízimas periódicas simples.
Os exemplos sugerem que, para obter a fração geratriz de uma dízima periódica simples, podemos usar um processo prático.
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Escrever no numerador o número formado pela parte periódica e, no denominador, o número formado por tantos algarismos 9 quantos forem os algarismos do numerador (ou seja, da parte periódica). |
De fato, para a dízima periódica 0,353535», temos:
Agora, acompanhe os exemplos de como determinar a fração geratriz de dízimas periódicas compostas.
Pelos exemplos, também podemos determinar um processo prático para obter a fração geratriz de uma dízima periódica composta. Observe para a dízima periódica 0,25444...
Atividades
1) No caderno, transforme cada dízima periódica em fração irredutível.
a) 0,151515... 15/99 5/33
b) 0, 287287287...
c) 0,777...
d) 0,2414141...
e) 0,32636363...
f) 0,185222...
g) 0,0111...
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